Добрый вечер. посчитайте, , выполнить задание (Даю 10 поинтов)

Question

Математика

Margaret Lewis

3 year(s) ago

Добрый вечер. посчитайте, , выполнить задание (Даю 10 поинтов)

ответы: 1

Зарегистрируйтесь, чтобы добавить ответ

Ответ:

Пусть произвольное $epsilon>0$ задано. Домножая и деля на сопряженное выражение, получаем

$|sqrt{n^2+n-1}-sqrt{n^2-n+1}-1|=left|frac{2n-2}{sqrt{n^2+n-1}+sqrt{n^2-n+1}}-1right|=$

$=left|frac{2-frac{2}{n}}{sqrt{1+frac{1}{n}-frac{1}{n^2}+sqrt{1-frac{1}{n}+frac{1}{n^2}}}}-1right|=||frac{1}{n}=tin (0;1]||=left|frac{2-2t-sqrt{1+t-t^2}-sqrt{1-t+t^2}}{sqrt{1+t-t^2}+sqrt{1-t+t^2}}right|le$

$le frac{2}{3}left(|2t|+|1-sqrt{1+t-t^2}|+|1-sqrt{1-t+t^2}|right)$

(мы воспользовались тем, что $sqrt{1+t-t^2}ge 2; sqrt{1-t+t^2}=sqrt{(t-1/2)^2+3/4}ge frac{sqrt{3}}{2}>frac{1}{2},$ поэтому знаменатель дроби больше 3/2, а также известным неравенством треугольника $|a+b|le |a|+|b|).$ Рассмотрим отдельно второй и третий модули.

$|1-sqrt{1+t-t^2}|=left|frac{t^2-t}{1+sqrt{1+t-t^2}}right|<frac{t}{2};$

$|1-sqrt{1-t+t^2}|=left|frac{t-t^2}{1+sqrt{1-t+t^2}}right|<frac{2t}{3}.$

Поэтому вся сумма меньше, чем $frac{2}{3}(2+frac{1}{2}+frac{2}{3})t=frac{38}{6}t<frac{42}{6}t=7t$ (последнее неравенство в принципе лишнее, но ведь от нас не требуют делать оценку как можно точнее). Далее,

$7t=frac{7}{n}<epsilonLeftrightarrow n>frac{7}{epsilon}.$ Поэтому в качестве N можно взять целую часть полученного числа: $N=left[dfrac{7}{epsilon}right]$ , а если мы совсем зануды и не хотим получить N=0 при $epsilon>7,$ то можем к у добавить еще единичку:

$N=left[dfrac{7}{epsilon}right]+1.$

Замечание. Если я где-то ошибся в расчетах, сообщите мне, чтобы я имел возможность исправить ошибки.

274

KerstinEr

Oct 18, 2021

Добрый вечер. посчитайте, , выполнить задание (Даю 10 поинтов)

Другие вопросы: - Математика