Площадь треугольника ABC равна 54 см в квадрате. На стороне AB обозначили точки D и E так, что AD = DE = BE, а на стороне AC - точки M и N так, что AM = MN = NC. Найдите площадь четырехугольника BCNE

Sbcne30см²

Так как точки на обоих сторонах треугольника взяты так, что делят каждую сторону на равные части, то отрезки, соединяющие их будут параллельны стороне ВС и между собой, следуя обратной теореме Фалеса. Они также делят ∆АВС так, что отсекают от него 2 подобных ему треугольника: АДМ и АEN. Отрезки делят стороны АВ и АС на 3 равные части. Обозначим части 1/3, 2/3, 3/3, что указывает на их соотношение между собой. Соственно соотношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

S∆АДМ/S∆АВС=(1/3)²;

S∆АЕN/S∆ABC=(2/3)². Пусть площадь ∆AEN=х, и зная площадь ∆АВС и соотношение площадей, составим уравнение:

S∆АЕN/S∆ABC=(2/3)²

x/54=4/9

9x=54×4

9x=216

x=216÷9

x=24 (см²) – это S∆AEN

Тогда Sbcne=S∆ABC–S∆AEN=54–24=30см²