Через вершину B правильного шестиугольника ABCDEF проведена прямая, пересекающая диагональ CF в точке K, причем K лежит между F и центром правильного шестиугольника. Известно, что эта прямая разбивает шестиугольник на части, площади которых относятся как 1:2. Найдите отношение CK:KF.

Если обозначить S площадь треугольника OAB, то легко видеть, что площадь ABF (дальше пишу Sabf) тоже S, то есть

Sabf = S;

Sbfe = 2S; Sbcde = 3S;

Пусть BK пересекает FE в точке M. Площадь треугольника BFM я обозначу S1, то есть

Sbfm = S1;

аналогично Sbem = S2; тогда

S1 + S2 = 2S;

2(S1 + S) = 3S + S2; => 2S1 - S2 = S;

откуда S1 = 3S/4; S2 = 5S/4; => FM/ME = 3/5;

пусть прямая EK пересекает BF в точке N.

Так как FO - медиана треугольника FBE,

FN/NB = FM/ME = 3/5;

=> (теорема Ван-Обеля) FK/KO = FN/NB + FM/ME = 6/5;

=> FK/FO = 6/(6 + 5) = 6/11; => FK/FC = 6/22; => FK/KC = 6/(22 - 6) = 3/8;

=> CK/KF = 8/3;