Мат точка совершает гармон. Колебания, ур. Которых имеет вид Х=0. 3Сos(P/6*t). Определить момент времени, в который Еp=7. 5мДж, а возвращающая сила F=100мН

Дано:

x = 0,3*cos(π/6*t)

Ep = 7,5 мДж = 7,5*10⁻³ Дж

F = 100 мН = 100*10⁻³ Н

t - ?

Решение:

Вид гармонического закона:

x = х_max*cos(ω₀t)

x = 0,3*cos(π/6*t)

x_max = 0,3 м

ω₀ = π/6

Зная значение силы упругости, мы можем выразить растяжение пружины в искомый момент времени (или, другими словами, можем выразить смещение материальной точки). Зная значение потенциальной энергии пружины, мы можем выразить её жёсткость.

F = kx => x = F/k

Ep = k*x²/2 = k*(F/k)²/2 = F²/(2k) => k = F²/(2Ep) =>

=> x = F / [F²/(2Ep)] = F*2Ep/F² = 2Ep/F

Подставляем выражение координаты в уравнение:

x = х_max*cos(ω₀t)

2Ep/F = х_max*cos(ω₀t) | : х_max

2Ep/(F*x_max) = cos(ω₀t)

Чтобы выразить аргумент косинуса, нужно вычислить арккосинус выражения слева:

ω₀t = arccos [2Ep/(F*x_max)] | : ω₀

t = arccos [2Ep/(F*x_max)] : ω₀ = arccos [2*7,5*10⁻³/(100*10⁻³*0,3)] : (π/6) = arccos [15/30] : (π/6) = arccos (0,5) * 6/π = (π/3)*(6/π) = 6/3 = 2 с

: 2 с.