Диагональ AC равнобедренной трапеции ABCD перпендикулярна стороне CD. Найдите AB, если AD = 4, AB^2+BC^2=11

Question

Nak

4 year(s) ago

ответы: 1

Зарегистрируйтесь, чтобы добавить ответ

Ответ:

У равнобедренной трапеции диагонали равны, значит если AC ⊥ CD, то DB ⊥ AB. Проведём высоты BK и CF, AK = FD.

AD = 2AK + BC = 4 ⇒ $AK=frac{4-BC}{2}$ .

$KD=BC+FD=BC+frac{4-BC}{2}=frac{4+BC}{2}$

Высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов

$BK=sqrt{AKcdot KD}=sqrt{frac{4-BC}{2}cdotfrac{4+BC}{2}}=sqrt{frac{16-BC^2}{4}}$

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ABK:

$AB^2=BK^2+AK^2$

Из равенства $AB^2+BC^2=11$ имеем $AB^2=11-BC^2$

$11-BC^2=dfrac{16-BC^2}{4}+left(dfrac{4-BC}{2}right)^2$

$11-BC^2=dfrac{16-BC^2+16-8BC+BC^2}{4}$

$11-BC^2=8-2BC$

$BC^2-2BC-3=0$

По теореме Виета $BC=3$ и $BC=-1<0$ (лишний).

$AB=sqrt{11-BC^2}=sqrt{11-3^2}=sqrt{2}$

: √2 .

494

valley

Oct 22, 2021