В правильной четырехугольной пирамиде все ребра равный 10. Найдите объем шара, вписанного в нее

Question

Геометрия

blast

4 year(s) ago

В правильной четырехугольной пирамиде все ребра равный 10. Найдите объем шара, вписанного в нее

ответы: 1

Зарегистрируйтесь, чтобы добавить ответ

Ответ:

Объём шара определён формулой: $V=dfrac{4}{3}pi R^3$ .

Шар можно вписать в любую правильную пирамиду. Центр шара лежит на высоте пирамиды и совпадает с центром окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, боковой стороной которого является апофема пирамиды, а высотой - высота пирамиды. Радиус шара равен радиусу этой окружности.

Радиус шара R, высота пирамиды H и радиус окружности r, вписанной в основание пирамиды, связаны соотношением: $dfrac{R}{H-R}=dfrac{r}{sqrt{H^2+r^2}}$

Радиус основания r = AD/2 = 10/2 = 5. Высота пирамиды H определим по теореме Пифагора из треугольника SO₁E, предварительно вычислив апофему SE

$SE=sqrt{SD^2-(DC/2)^2}=sqrt{10^2-5^2}=5sqrt{3}$

$H=sqrt{SE^2-r^2}=sqrt{75-25}=sqrt{50}=5sqrt{2}$

Из заданного соотношения найдём радиус шара

$dfrac{R}{H-R}=dfrac{r}{sqrt{H^2+r^2}}~Rightarrow~dfrac{R}{5sqrt{2}-R}=dfrac{5}{sqrt{50+25}}$

$Rsqrt{3}=5sqrt2-R$

$R=dfrac{5sqrt{2}}{1+sqrt3}=dfrac{5sqrt{2}(sqrt3-1)}{2}$

Объём шара: $V=dfrac{4}{3}pi R^3=dfrac{4}{3}picdot left(dfrac{5sqrt2(sqrt3-1)}{2}right)^3=dfrac{750sqrt6-1250sqrt2}{3}pi$

129

Tygogore

Oct 22, 2021

В правильной четырехугольной пирамиде все ребра равный 10. Найдите объем шара, вписанного в нее

Другие вопросы: - Геометрия