50 поинтов докажите что число 2528 нельзя представить в виде суммы семи шестых степени целых чисел

Question

Математика

Markus

3 year(s) ago

50 поинтов докажите что число 2528 нельзя представить в виде суммы семи шестых степени целых чисел

ответы: 1

Зарегистрируйтесь, чтобы добавить ответ

Ответ:

${}$ Я могу дать только одну интерпретацию условия: доказать, что число 2528 нельзя представить в виде суммы

$a_1^6+a_2^6+a_3^6+a_4^6+a_5^6+a_6^6+a_7^6,$

где $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7 -$ целые числа. Такую задачу я и буду решать.

Поскольку шесть четное число, достаточно доказать утверждение для неотрицательных целых чисел. Имеем:

$0^6=0; 1^6=1; 2^6=64; 3^6=729; 4^6=4096>2528Rightarrow n^6>2528$

при n>3. Поэтому надо пытаться делать 2528 из чисел 0, 1, 64 и 729.

Если использовать только первые три числа, то сумма будет не больше чем $7 cdot 64=448.$ До 2528 мы не дотянули на 2528-448=2080 единиц. Значит, надо использовать и 729, причем поскольку

$2080:729=2,8. . .$ , 729 нужно использовать как минимум 3 раза, а поскольку 729·4=2916>2528, число 729 нужно использовать ровно 3 раза. Теперь задача сводится к более простой:

2528-729·3=2528-2187=341; число 341 нужно представить в виде суммы четырех чисел, используя только 0, 1, и 64. Однако такая сумма заведомо не может быть больше, чем 4·64=256.

Следовательно, мы доказали, что число 2528 нельзя представить в виде суммы семи шестых степеней целых чисел.

400

fall back on

Feb 14, 2022

50 поинтов докажите что число 2528 нельзя представить в виде суммы семи шестых степени целых чисел

Другие вопросы: - Математика