Угол между двумя боковыми ребрами правильной треугольной пирамиды равен 120°, а радиус окружности, описанной около боковой грани, равен 8√3. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

: S б = 18 кв. од .

Нехай ΔАМВ - бічна грань тіраміди і АМ = L , ∠AMB = 120° ;

MN ⊥AB , MN - апофема . ∠AMN = 1/2 *120° = 60° , тому ∠MAN = 30° .

Звідси MN = 1/2 AM = 1/2 L . Із прямок. ΔAMN AN = √ ( AM² - MN²) =

= √ [ L² - ( L/2 )²] = L√3/2 ; AN = L√3/2 ; AB = 2* AN = L√3 ; AB = L√3 .

S б = 1/2 P ос * MN ; S б = 1/2 * 3 *L√3 * 1/2 L = 3√3 L/4 . Із ΔАМВ

за теоремою синусів AB/sin120° = 2R ; R = AB/2sin120° = L√3/(2√3/2) = L .

За умовою R = 8√3 , тому L = R = 8√3 . Тепер вже обчислимо S б :

S б = 3√3 L/4 = 3√3 * 8√3/4 = 18 ( кв. од . ) .