Основанием пирамиды, вписанной в конус, служит четырехугольник, у которого смежные стороны попарно равны, а угол между одной парой смежных сторон равен α. Найти отношение объема пирамиды к объему конуса.

Question

Elka

3 year(s) ago

ответы: 1

Зарегистрируйтесь, чтобы добавить ответ

Ответ:

$frac{V_p}{V_k} =frac{2sin(alpha )}{pi }$

Объём пирамиды равен

$V_p=frac{1}{3} S_{o}h$

объём конуса

$V_k=frac{1}{3} pi R^{2}h$

Их отношение будет равно

$frac{V_p}{V_k} =frac{S_o}{pi r^{2} }$

То есть отношение площадей

На рисунке представлено основание.

AB=BC и CD=DA

Угол между AB и BC равен α

Прямая DB будет проходить через центр окружности и являться диаметром, поскольку одновременно является биссектрисой углов ABC и CDA.

То есть DB = 2r

Треугольник ABD будет прямоугольным с прямым углом A, поскольку он опирается на дугу в 180 градусов.

ABD = α/2 заменим для простоты на β

Тогда

$AB=BDcos(beta )=2rcos(beta ); \AD=BDcos(frac{pi }{2} - beta )=BDsin(beta)=2rsin(beta)$

Площадь треугольника будет

$S_{ABD} =frac{1}{2} AB*AD=frac{2rcos(beta)*2rsin(beta)}{2} =r^{2} 2cos(beta)sin(beta) =r^{2} sin(2beta)=r^{2} sin(alpha )$

Площадь основания равна двум таким площадям, итого получаем

$frac{V_p}{V_k} =frac{2S_{ABD}}{pi r^{2} }=frac{2r^{2} sin(alpha )}{pi r^{2} }=frac{2sin(alpha )}{pi }$

252

Velin

Oct 22, 2021