четырехугольник ABCD обладает следующ свойствами: <ACD = 2<CAB, <ACB = 2<CAD, CB=CD. Докажите. Что <CAB=<CAD​

Два решения

1)

Из треугольников ABC, ACD соственно по теор синусов

CAB=a

CAD=b

BC/sina=AC/sin(a+2b)

CD/sinb=AC/sin(2b+a)

но BC=CD , тогда

sina/sin(a+2b) = sinb/sin(b+2a)

sina*sin(b+2a) - sinb*sin(a+2b) = 0

cos(a-b-2a)-cos(b+3a) - cos(b-a-2b)+cos(a+3b)=0

cos(a+3b)=cos(b+3a)

a+3b=b+3a

2b=2a

a=b

CAB=CAD

2)

Пусть AECF точка O пересечения диагоналей и OE=OF рассмотрим симметрию относительно точки O, точка Е перейдет в точку F, точка B в точку D по определению симметрии так как CB=CD точка А перейдет в себя, тогда AB=AD тогда треугольники ABC=ACD откуда

180-2a-b=180-2b-a

3a=3b

a=b